Dl Nicușor Dan a explicat la un post de televiziune, în urma solicitării unui jurnalist, adică așa cum s-a întâmplat în cazurile „Dăncilă – aria cercului” și „Dăncilă – teorema lui Pitagora”, soluția pe care a dat-o celebrei „Problema nr. 6” la Olimpiada Internațională de Matematică de la Canberra, Australia, 1988: „Demonstrați că dacă a, b sunt întregi pozitivi, iar ab+1 divide a^2 + b^2, atunci raportul (a^2 + b^2)/(ab+1) este un pătrat perfect”. Atunci, dl Dan a obținut punctajul maxim pe ansamblul subiectelor și medalia de aur, performanță pentru care îl felicit acum.
Citesc însă pe contul de facebook al d-sale demonstrația prezentată la tv. Pentru pasionați. Sunt și eu unul. Linia generală a raționamentului este corectă și frumoasă, dar am câteva observații.
Dl Nicușor Dan scrie așa:
iii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă că Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observație/intuiție, cu cât raportul a/b este mai mare, cu atât numărul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, și pare că va fi prea mare]. În acest caz avem
(a^2+b^2)/(ab+1) = (a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1) = (a/b + b/a) (1-1/ab)
Din ipoteza (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) iar (1-1/ab) este cel puțin (1-1/N^3).
Cu un calcul scurt rezultă că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N, contrar ipotezei.
Cu asta, problema este rezolvată. Am văzut că dacă (a,b) este o soluție și N nu este pătrat perfect găsim o soluție mai mică. Considerăm soluția (a,b) cea mai mică. Întrucât nu există soluție mai mică, rezultă că N este pătrat perfect.
Observațiile sunt:
1. La punctul iii)., reprodus mai sus, în ipoteza b^2 – N > 0, folosind formula Vieta a produsului rădăcinilor, rezultă a(Nb-a)= b^2-N. De aici, afirmă dl Dan, ar rezulta că termenul (Nb-a) este negativ. Ceea ce este imposibil: a este pozitiv, b^2-N este pozitiv, deci produsul a două numere este pozitiv, unul dintre ele este pozitiv, deci și celălalt nu poate fi decât pozitiv, nicidecum negativ.
2. În seria de egalități
(a^2+b^2)/(ab+1)=(a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1)=(a/b+b/a) (1-1/ab), cea de-a doua este imposibilă. Într-adevăr, primii termeni ai egalității, adică (a^2+b^2)/ab și (a/b+b/a) sunt egali, dar ceilalți doi, ab/(ab+1) și (1-1/ab) n-au cum să fie. Căci, ab/(ab+1) = (1-1/ab) implică ab/(ab+1) = (ab-1)/ab implică (egalând produsul mezilor cu cel al extremilor) a^2 b^2 = a^2 b^2 - 1. De unde rezultă 0 = - 1, imposibil.
3. Afirmația (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) nu e riguros adevărată. Din a > Nb rezultă (a/b) > N, deci a/b poate fi minorat prin N, dar b/a < 1/N, deci nu poate fi minorat prin 1/N.
4. Nu înțeleg de unde apare puterea a treia a lui N în expresia (1-1/N^3).
5. Aș vrea să văd „calculul scurt” din care, pe baza ipotezelor de mai sus, ar rezulta că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N.
Sper că dl Nicușor Dan va răspunde la toate acestea. Pentru pasionați, cum spune dânsul.
Urmăriți Republica pe Google News
Urmăriți Republica pe Threads
Urmăriți Republica pe canalul de WhatsApp
