Sari la continut

Află ce se publică nou în Republica!

În fiecare dimineață, îți scrie unul dintre autorii fondatori ai platformei. Cristian Tudor Popescu, Claudiu Pândaru, Florin Negruțiu și Alex Livadaru sunt cei de la care primești emailul zilnic și cei cărora le poți trimite observațiile, propunerile, ideile tale.

5 observații la soluția Problema 6 pentru dl Nicușor Dan

 Dl Nicușor Dan a explicat la un post de televiziune, în urma solicitării unui jurnalist, adică așa cum s-a întâmplat în cazurile „Dăncilă – aria cercului” și „Dăncilă – teorema lui Pitagora”, soluția pe care a dat-o celebrei „Problema nr. 6” la Olimpiada Internațională de Matematică de la Canberra, Australia, 1988: „Demonstrați că dacă a, b sunt întregi pozitivi, iar ab+1 divide a^2 + b^2, atunci raportul (a^2 + b^2)/(ab+1) este un pătrat perfect”. Atunci, dl Dan a obținut punctajul maxim pe ansamblul subiectelor și medalia de aur, performanță pentru care îl felicit acum.

Citesc însă pe contul de facebook al d-sale demonstrația prezentată la tv. Pentru pasionați. Sunt și eu unul. Linia generală a raționamentului este corectă și frumoasă, dar am câteva observații. 

 Dl Nicușor Dan scrie așa:

iii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă că Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observație/intuiție, cu cât raportul a/b este mai mare, cu atât numărul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, și pare că va fi prea mare]. În acest caz avem

(a^2+b^2)/(ab+1) = (a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1) = (a/b + b/a) (1-1/ab)

Din ipoteza (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) iar (1-1/ab) este cel puțin (1-1/N^3).

Cu un calcul scurt rezultă că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N, contrar ipotezei.

Cu asta, problema este rezolvată. Am văzut că dacă (a,b) este o soluție și N nu este pătrat perfect găsim o soluție mai mică. Considerăm soluția (a,b) cea mai mică. Întrucât nu există soluție mai mică, rezultă că N este pătrat perfect.

Observațiile sunt:

1. La punctul iii)., reprodus mai sus, în ipoteza b^2 – N > 0, folosind formula Vieta a produsului rădăcinilor, rezultă a(Nb-a)= b^2-N. De aici, afirmă dl Dan, ar rezulta că termenul (Nb-a) este negativ. Ceea ce este imposibil: a este pozitiv, b^2-N este pozitiv, deci produsul a două numere este pozitiv, unul dintre ele este pozitiv, deci și celălalt nu poate fi decât pozitiv, nicidecum negativ.

2. În seria de egalități

(a^2+b^2)/(ab+1)=(a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1)=(a/b+b/a) (1-1/ab), cea de-a doua este imposibilă. Într-adevăr, primii termeni ai egalității, adică (a^2+b^2)/ab și (a/b+b/a) sunt egali, dar ceilalți doi, ab/(ab+1) și (1-1/ab) n-au cum să fie. Căci, ab/(ab+1) = (1-1/ab) implică ab/(ab+1) = (ab-1)/ab implică (egalând produsul mezilor cu cel al extremilor) a^2 b^2 = a^2 b^2 - 1. De unde rezultă 0 = - 1, imposibil.

3. Afirmația (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) nu e riguros adevărată. Din a > Nb rezultă (a/b) > N, deci a/b poate fi minorat prin N, dar b/a < 1/N, deci nu poate fi minorat prin 1/N.

4. Nu înțeleg de unde apare puterea a treia a lui N în expresia (1-1/N^3).

5. Aș vrea să văd „calculul scurt” din care, pe baza ipotezelor de mai sus, ar rezulta că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N.

Sper că dl Nicușor Dan va răspunde la toate acestea. Pentru pasionați, cum spune dânsul. 

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.

Comentarii. Intră în dezbatere
  • Precizări

    Erorile au fost provocate de dorinţa domnului Nicuşor Dan de a reproduce rapid demonstraţia din timpul concursului. Pentru public, raţionamentul fostului olimpic internaţional a fost mai greu de urmărit pentru că nu a clarificat semnificaţia pe care a dat-o expresiei"soluţia cea mai mică (a,b)" .

    Rolul simetric jucat de a şi b este remarcat pentru că evită analiza separată a ecuaţiilor de gradul doi în a şi în b. Această observaţie pare trivială, dar absenţa ei ar fi fost penalizată de evaluatori. Apoi, dacă presupunem existenţa perechilor (a,b) de întregi pozitivi astfel încât valorile întregi N să nu fie pătrate perfecte, putem presupune a>b, fără a altera generalitatea raţionamentului (perechile cu a=b sunt excluse de cerinţa ca N să fie întreg, cerinţa care implică N=1, pătrat perfect). Printre perechile (a,b) cu a>b s-ar afla una cu cea mai mică valoare pentru a. Aceasta este "soluţia cea mai mică" pe care a avut-o în vedere domnul Dan. Apoi, este uşor de observat că atunci când b parcurge mulţimea numerelor naturale, perechile (a=b^3,b) generează întreaga mulţime a pătratelor perfecte N=b^2. Dificultatea esenţială constă în a demonstra că atunci când (1+ab) este divizor al numărătorului, raportul (a^2+b^2)/(1+ab) are valori doar în această mulţime.

    Cosmetizat în câteva locuri, raţionamentul domnului Dan a a urmat calea următoare:
    Ecuaţia
    a^2-a(bN)+(b^2-N)=0, cu a>b
    are soluţiile a şi a'=(bN-a)>0, căci în cazul contrar (a'<0) am obtine
    (a')^2+b^2=N(1-|a'|), egalitate imposibilă. Pasul cheie constă în a observa că posibilitatea a'=0 este exclusă de presupunerea că N nu este pătrat perfect (pentru a'=0 se obţine N=b^2).
    Produsul rădăcinilor este dat de relaţia Vieta
    aa'=(b^2-N)>0, pentru că a>0 şi a'>0. De aici rezultă că a'<a (strict) deoarece a' =(b^2-N)/a<(a^2-N)/a = (a - N/a) (ne amintim că a>b). Cu alte cuvinte, perechea (a',b) cu a'<a strict satisface egalitatea
    (a'^2+b^2)/(1+a'b) = N,
    în care N nu este pătrat perfect. Dar această egalitate contrazice ipoteza de plecare conform căreia perechea (a,b) este "soluţia cea mai mică". Ca urmare, soluţia unică este a'=0 , de unde obţinem N=b^2, a=b^3. Exemple de perechi (a=1,b=1), (a=8,b=2), (a=27,b=3), etc.

    Este greu să nu recunoşti ingeniozitatea acestui raţionament făcut în condiţii dure de concurs.

    O joacă mai serioasă pentru domnul Dan (şi pentru pasionaţi) ar fi să explice de ce, în condiţiile problemei, pentru a>b, factorizarea
    [(b+ja)/(N^1/2)] [(b-ja)/(N^1/2)] = [1+j(ab)^1/2] [1-j(ab)^1/2], cu j^2= -1,
    rezolvă problema pe un rand (literalmente).

    Aceasta permite identificările
    (b+ja)/(N^1/2) = 1+j(ab)^1/2.
    (b-ja)/(N^1/2)] = 1-j(ab)^1/2,
    De aici, rezultă imediat
    N = b^2,
    a^2/N=ab, adică a = b^3.
    • Like 0
  • Ok, l-ai prins cu chiloțeii în vine. Și, ce ai vrut sa demonstrezi cu asta? Ca știi sa ridici la putere pana când te doare capul!? Oricum, te - ai luat la trântă cu un matematician și nu cu un amator - inginer, scriitor..). În calitatea ta de jurnalist, ce ai vrut sa demonstrezi? Sunt convins ca ai și permis de conducere pentru o masina de gunoi, ca să-l bruiezi pe domnul ...
    • Like 1
  • 1 si 2 sunt erori superficiale fără importanță. 4 provine din monotonia funcției x+ 1/x pt x>1.

    La 3 și 5 aveti dreptate, soluția lui Nicușor Dan e inexacta, ceea ce i-am și spus și el a corectat/detaliat. Nu stiu de ce nu și-a actualizat postarea.
    • Like 1
    • @ Dumitrescu Ioan Catalin
      .
      • Like 0
  • TOTUSI, CAT E A SI CAT E B? NUMERE INTREGI.
    • Like 0
  • NU STIU DACA MAI TERBUIE DEMONSTRATIE!
    • Like 0
  • DANDU-LE LUI A SI B NUMERE INTREGI (N) ADICA 1,2,3 ... PANA LA INFINIT, FOLOSIND ECUATIA PE CARE O SPUNETI ESTE POSIBIL, CHIAR SIGUR E.
    DACA PUI IN ECUATIE TOATE NUMERELE POSIBILE, CEEA CE MI SE PARE ABSOLUT CORECT, S-AR PUTEA CA LA UN MOMENT DAT SA IASA UN PATRAT, ASA ZIS PERFECT. CRED CA UN CALCULATOR DE PRIN ANII 60' PUTEA FACE LUCRUL ACESTA. DAR CRED CA GRESESC, E DE MAI DE MULT!
    • Like 0
  • POATE CA E UN PATRAT IMPERFECT!
    • Like 0
  • Gecaba Gecaba check icon
    Din capitolul "tertipuri de campanie". Amatorism. Tov. PETROV vine tare din spate și va musca adânc din procentele lui ND. Asta e problema adevărată. Aritmetică.
    • Like 2
  • Eu sunt mai dintr-o bucata si in prostia mea sesizez niste anomalii "s-avat" pardon. Domnilor ce ne mai trebuie tehnologie in Romania cand "monsiour" Nicusor ne scrie cu pixul pe hartie. Eu zic s-o dam dracului de tehnologie tabletarii laptopuri ipaduri calculatoare mobile si sa ne intoarcem pe vremea lui Caragiale si Moromete cand COCEANUL DE PORUMB era multifunctional. Ei ce ziceti ?. mai regresam cu inca 100 de ani domnilor ?.hai ca se poate ! ( ironic )
    • Like 0
    • @ Radu Panaitescu
      Maestre,bucata din care sunteti construit nu are rabdare sau intelegere pentru un fapt simplu:demonstratie s-a facut in 1988,cu creionul pe hartie ,caci asa erau regulile la Olimpiade in acea perioada!Daca doreati sa o vedeti pe smartfonul dvs.ultraperformant ar trebui sa-i cereti asta d-lui ND ,poate vi-o trimite contra cost,caci vad ca pe FB nu va satisface!Altfel carcatosie ieftina!
      • Like 4
    • @ Radu Panaitescu
      Tehnologia nu înlocuiește inteligenta. Încă.
      Când citiți că un anume calculator l-a învins pe cel mai bun jucător de șah vă gândiți că acel calculator e mai inteligent decât omul. Greșit. Calculatorul acela face toate variantele de mutari posibile și evaluează șansele de câștig ale fiecăreia. Calculatorul folosește forță brută pentru a rezolva o situație. Cu cat situația e mai complexă cu atât calculatorul este mai depășit de ea. Nu se poate calcula brut absolut orice. Aici intervine inteligenta umana, experiența, intuiția... Când o să văd un calculator cu intuiție o să mă predau.
      • Like 5
    • @ Radu Panaitescu
      Domnule cacademician, calculul facut de tehnologie n-are a face cu logica unei demonstratii matematice. daca nu stii ia un calculator de buzunar si descoase-l sa-ti spuna el ce e ala calcul numeric facut din aproape in aproape pe baza unor aproximari care au ele la baza srii taylor sau alte chestii dar nu au nicio logica asa cum pretinzi matale. hai ca esti in plus. Vezi ce e aia UAL intr-un sistem mai intai.
      • Like 1
    • @ Arthur Chivulescu
      La varsta dumneavoastra "maestre" si la lentoarea cu care accesati tehnologia cu siguranta o gasiti plictisitoare...va ia un deceniu pentru a gasi functia "search" ! Nu-i nimic posedati alte calitati extra-senzoriale care tin mai mult de latura psihedelica.....
      • Like 0
    • @ Mircea Rusu
      Sa inteleg voalat ca bucurestenii de campanie de fapt sunt spargatori de sisteme de orice fel ?.nu este mai simplu acceptarea evolutiei si mers in tandem cu ea ?...si alta intrebare : esti constient ca marele creier virtual planetar cumulat in orice tip de server deja rumega cantitatea ta de informatie care este echivalentul unui mini-micron informational ?...sahul sa fie problema ?.intuitia ?.matematica ? Nicusor Dan ???? ( glumite din papuriste )
      • Like 0
    • @ Nelu Ionescu
      Dumneavoastra va raspund mai apasat fiind un "mancator de pate" indarjit. Acum doua zile un asteroid a trecut razant pe lanca Pamant maricel oamenii de stiinta habar ne-avand de existenta lui. Daca avea impact acum cu totii vorbeati matematici si ecuatii pe la portile raiului si cum sa modernizati capitale cu Nicusori Pandeli si Firulici. Relatia UNIVERSALITATE furnici in raport uman ar trebui sa va sara in ochi !
      • Like 0


Îți recomandăm

Fetiță la laptop

Situația se poate schimba în orice moment și școli aflate acum în scenariul verde sau galben pot trece de pe o zi pe alta în scenariul roșu, dacă în cadrul lor vor fi confirmate 3 cazuri de Covid. (Foto: Guliver/ Getty Images)

Citește mai mult

Scoala din valiza

„Educația digitală nu înseamnă neapărat distanțarea între copil și profesor. Și aici îmi vine în minte un alt exemplu: profesorii dintr-o școală din Ialomița, care au devenit dependenți de copiii pentru a putea să folosească mijloacele digitale și s-au apropiat de copii”.

Citește mai mult

Andreas Lier - BASF

„Mă duc aproape în fiecare dimineață cu bicicleta la birou, pe o distanță de 3-4 km, în timp ce vecinii mei adoră să-și conducă SUV-urile, să stea în ambuteiaje, să polueze aerul, lăsând o amprentă mare de carbon doar pentru a se simți foarte confortabil și a afișa simboluri de statut social”, dezvăluie Andreas Lier, CEO al BASF România, într-un interviu pentru Republica.

Citește mai mult

O afacere cu cânepă

Ionuț a plecat în India în toamna lui 2017 ca să viziteze cele șapte orașe sfinte. A luat această decizie după un an și jumătate în care a lucrat pentru o companie elvețiano-britanică din Praga, unde ajunsese ca proaspăt absolvent al unui masterat în Olanda, care nu și-a găsit nimic de lucru în țară.

Citește mai mult

Andrei Pitis

Andrei Pitiş, unul dintre cei mai cunoscuţi oameni din industria locală de IT, a investit până în prezent în 15 startup-uri, după ce în 2018 a demarat un proiect prin care vrea să ajute 100 de români să ajungă milionari în euro din startup-uri în tehnologie.

Citește mai mult