Sari la continut

Spune-ți părerea! Intră alături de noi în comunitatea Republica

Vă invităm să intrați în Comunitatea Republica, grupul de Facebook în care contributorii, cei care își scriu aici ideile, vor sta de vorbă cu tine. Tot ce trebuie să faci este să ceri intrarea în acest spațiu al dialogului.

5 observații la soluția Problema 6 pentru dl Nicușor Dan

 Dl Nicușor Dan a explicat la un post de televiziune, în urma solicitării unui jurnalist, adică așa cum s-a întâmplat în cazurile „Dăncilă – aria cercului” și „Dăncilă – teorema lui Pitagora”, soluția pe care a dat-o celebrei „Problema nr. 6” la Olimpiada Internațională de Matematică de la Canberra, Australia, 1988: „Demonstrați că dacă a, b sunt întregi pozitivi, iar ab+1 divide a^2 + b^2, atunci raportul (a^2 + b^2)/(ab+1) este un pătrat perfect”. Atunci, dl Dan a obținut punctajul maxim pe ansamblul subiectelor și medalia de aur, performanță pentru care îl felicit acum.

Citesc însă pe contul de facebook al d-sale demonstrația prezentată la tv. Pentru pasionați. Sunt și eu unul. Linia generală a raționamentului este corectă și frumoasă, dar am câteva observații. 

 Dl Nicușor Dan scrie așa:

iii. Dacă b^2 – N > 0, folosim a doua relație între rădăcinile ecuației de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezultă că Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observație/intuiție, cu cât raportul a/b este mai mare, cu atât numărul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, și pare că va fi prea mare]. În acest caz avem

(a^2+b^2)/(ab+1) = (a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1) = (a/b + b/a) (1-1/ab)

Din ipoteza (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) iar (1-1/ab) este cel puțin (1-1/N^3).

Cu un calcul scurt rezultă că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N, contrar ipotezei.

Cu asta, problema este rezolvată. Am văzut că dacă (a,b) este o soluție și N nu este pătrat perfect găsim o soluție mai mică. Considerăm soluția (a,b) cea mai mică. Întrucât nu există soluție mai mică, rezultă că N este pătrat perfect.

Observațiile sunt:

1. La punctul iii)., reprodus mai sus, în ipoteza b^2 – N > 0, folosind formula Vieta a produsului rădăcinilor, rezultă a(Nb-a)= b^2-N. De aici, afirmă dl Dan, ar rezulta că termenul (Nb-a) este negativ. Ceea ce este imposibil: a este pozitiv, b^2-N este pozitiv, deci produsul a două numere este pozitiv, unul dintre ele este pozitiv, deci și celălalt nu poate fi decât pozitiv, nicidecum negativ.

2. În seria de egalități

(a^2+b^2)/(ab+1)=(a^2+b^2)/ab x ab/(ab+1)=(a/b+b/a) (1-1/ab), cea de-a doua este imposibilă. Într-adevăr, primii termeni ai egalității, adică (a^2+b^2)/ab și (a/b+b/a) sunt egali, dar ceilalți doi, ab/(ab+1) și (1-1/ab) n-au cum să fie. Căci, ab/(ab+1) = (1-1/ab) implică ab/(ab+1) = (ab-1)/ab implică (egalând produsul mezilor cu cel al extremilor) a^2 b^2 = a^2 b^2 - 1. De unde rezultă 0 = - 1, imposibil.

3. Afirmația (a/b + b/a) este cel puțin (N+1/N) nu e riguros adevărată. Din a > Nb rezultă (a/b) > N, deci a/b poate fi minorat prin N, dar b/a < 1/N, deci nu poate fi minorat prin 1/N.

4. Nu înțeleg de unde apare puterea a treia a lui N în expresia (1-1/N^3).

5. Aș vrea să văd „calculul scurt” din care, pe baza ipotezelor de mai sus, ar rezulta că (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare decât N.

Sper că dl Nicușor Dan va răspunde la toate acestea. Pentru pasionați, cum spune dânsul. 

Urmăriți Republica pe Google News

Urmăriți Republica pe Threads

Urmăriți Republica pe canalul de WhatsApp 

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.



Îți recomandăm

Sorin Grindeanu 2025

Apetitul Partidului Social Democrat pentru orice tip de reformă (inclusiv administrativ-teritorială) este egal cu zero. Dacă România nu reușește să facă nicio reformă reală, structurală de decenii, e pentru că PSD le-a blocat pe toate prin liderii săi, prin clienții plantați în toate structurile, la toate nivelurile (foto: Inquam Photos / Octav Ganea).

Citește mai mult

Vegeterra

Etica muncii e sfântă pentru dl. Szocs Jozsef: „Degeaba ai pământ dacă nu îl muncești”. De altfel, în zonă puține suprafețe de teren zac necultivate. „Pe aici nu prea sunt pământuri lăsate pârloagă”.

Citește mai mult

Volodimir Zelenski 2025

Omul ăsta e deștept, dar nu într-un mod rece sau calculat. Are inteligența aia care vine din instinct, din simțul momentului. Când a început invazia rusă, toată lumea se aștepta să dispară din peisaj, să fugă undeva „la sigur”. În loc de asta, a rămas acolo, în Kiev, sub bombardamente, spunând simplu: „Sunt aici.” Câteva cuvinte, dar care au ținut o țară întreagă în picioare. A fost genul acela de gest care nu se învață din manuale .Ori îl ai, ori nu.

Citește mai mult

articol audio
play icon mic icon Cabana perfectă:

Cine nu s-a visat măcar o dată într-o cabană de munte cu vedere la pădure, cu miros de lemn proaspăt și liniștea aceea curată, ruptă de agitația orașului? Chiar dacă nu trăim permanent la altitudine, putem aduce atmosfera aceea în propriul nostru spațiu- fie că e o casă de vacanță, fie un apartament urban care vrei să respire mai mult aer de natură. Stilul de cabană modernă e o combinație rafinată între confort rustic și funcționalitate contemporană, o invitație de a trăi mai simplu, dar cu gust.

Citește mai mult