Întrebare, pe care s-a întâmplat să mi-o pun singur: câte numere naturale de 2 cifre există?
Carevasăzică: primul este 10. Ultimul, 99. De la 10 (inclusiv) la 99 (inclusiv) sunt 90 de numere de 2 cifre. Și gata.
Sau nu. Un principiu rațional constă în a încerca să generalizezi un rezultat particular. Există o formulă care să funcționeze dincolo de calculul „băbesc”?
Avem 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Căutăm numerele de 2 cifre care pot fi formate cu aceste 10 cifre.
Ar putea fi, intuitiv, ceva de analiză combinatorică – permutări, aranjamente, combinări. Permutări, adică n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4∙ ..... n, nu e cazul, căci avem nevoie de elemente grupate. Combinări? Iar nu, pentru că perechile C10(2) nu iau în considerare ordinea: avem 13, nu mai punem 31, 24 e totuna cu 42.
Rămân aranjamentele, An(k), care introduc relația de ordine, fiecare pereche cu inversul ei – 13 și 31, 24 și 42, de pildă. Formula de calcul pentru aranjamente este An(k)=n!/(n-k)! Prin urmare, A10(2)=10!/(10 -2)!=10!/8!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10/1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=9∙10=90. Perfect! Exact rezultatul găsit prin calcul băbesc.
Dar, alt principiu rațional nu îmi dă pace: atunci când crezi că ai găsit o formulă generală, verific-o pe seturi de date modificate. Să calculăm, deci, câte numere de 3 cifre există, folosind formula descoperită. Avem: A10(3)=10!/(10-3)!= 10!/7!=8∙9∙10=720. Ceva, intuiția, experiența, îmi spune că rezultatul nu arată prea bine. Ia să ne întoarcem la metoda băbească. Primul număr de 3 cifre este 100. Ultimul, 999. De la 100 (inclusiv) la 999 (inclusiv) sunt 900 de numere. Nicidecum 720. Nasol.
Formula pentru care abia mă bucurasem nu funcționează dacă în loc de numere de 2 cifre e vorba de numere de 3 cifre. Regulă rațională: dacă formula pentru un set de date nu se mai verifică variind datele, este probabil că era greșită și în cazul setului de date inițial, dar n-am văzut greșeala.
Reluăm, A10(2) și ne uităm mai atent. Hopa! Aranjamentele sunt poziționale, deci avem 10, dar și 01; 20, dar și 02; 30, dar și 03. Or, 01, 02, 03, avându-l pe 0 în față, nu sunt considerate numere de 2 cifre. Câte din astea sunt? Păi, 01, 02, ..... 09, adică 9. Deci, aranjamente de 10 elemente luate câte 2 sunt cu 9 mai multe decât numerele de 2 cifre. Adică 90-9=81.
Bun, dar așa cum arată invincibilul calcul băbesc, rezultatul trebuie să fie 90. Ne mai uităm o dată și mai găsim niște perechi speciale: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Astea sunt, firește, numere, dar nu sunt aranjamente, căci aranjamentele nu permit repetiția, presupun numai cifre (simboluri) distincte (perechea 00 o eliminăm din discuție, ea nefiind nici număr, nici aranjament). Deci aceste 9 perechi trebuie adăugate la numărul numerelor de 2 cifre recalculat mai sus, adică 81. Rezultatul: 81+9=90. Cred că este un frumos exemplu de eroare ascunsă dintre cele mai parșive: cele 2 seturi de perechi pe care nu le-am luat în considerare se „mănâncă” și dau, înșelător, bine.
Deci, formula aranjamentelor nu merge. Aveți dumneavoastră o soluție, stimați iubitori de raționamente?
Ps.
Câte numere naturale de 2 cifre există? Dar de 3 cifre? Dar de n cifre? Aceasta a fost problema propusă în textul precedent, „C-așa nu e-n tenis: o dublă greșeală care dă bine”. Scopul textului a fost enunțarea unor reguli raționale cu care să ne putem orienta în situații matematice – și nu numai – înșelătoare.
Răspunsul era: N=10^n-10^(n-1) sau N=9∙10^(n-1), adică 9 înmulțit cu 10 la puterea n-1. Pentru n=1→N=9 (0 nefiind considerat număr natural), n=2→N=9∙10=90, n=3→N=9∙100=900 ș.a.m..d.
Mulțumesc tuturor celor care au acordat atenție problemei și îi felicit pe cei care au oferit observații și soluția corecte: Verde Ioana (soluția cu cel mai mare grad de generalitate, N=(m-1)∙m^(n-1), unde m este baza de numerație), Ionuț Gabriel Oțelea, Mihai Filip, Dan Răduț, Costin Popescu, Luce Nera, Richard Dimitriu.
Ps.
Câte numere naturale de 2 cifre există? Dar de 3 cifre? Dar de n cifre? Aceasta a fost problema propusă în textul precedent, „C-așa nu e-n tenis: o dublă greșeală care dă bine”. Scopul textului a fost enunțarea unor reguli raționale cu care să ne putem orienta în situații matematice – și nu numai – înșelătoare.
Răspunsul era: N=10^n-10^(n-1) sau N=9∙10^(n-1), adică 9 înmulțit cu 10 la puterea n-1. Pentru n=1→N=9 (0 nefiind considerat număr natural), n=2→N=9∙10=90, n=3→N=9∙100=900 ș.a.m..d.
Mulțumesc tuturor celor care au acordat atenție problemei și îi felicit pe cei care au oferit observații și soluția corecte: Verde Ioana (soluția cu cel mai mare grad de generalitate, N=(m-1)∙m^(n-1), unde m este baza de numerație), Ionuț Gabriel Oțelea, Mihai Filip, Dan Răduț, Costin Popescu, Luce Nera, Richard Dimitriu.
Urmăriți Republica pe Google News
Urmăriți Republica pe Threads
Urmăriți Republica pe canalul de WhatsApp
