Sari la continut

De opt ani suntem împreună. Vă mulțumim!

Găsim valori comune, sau scriem despre lucruri care ne despart. Ne unesc bunul simț și credința că putem fi mai buni. Suntem Republica, sunteți Republica!

Bacalaureat Mate-Info 2020 – un comentariu despre rigoare

Cristian Tudor Popescu

Între subiectele Mate-Info de la Bacalaureatul ale cărui rezultate se dau astăzi, mi-a atras atenția o chestiune de rigoare. La subiectul al II-lea, problema 1, punctul c), soluția nu mi se pare riguroasă. Într-adevăr, dacă a=0 sau a=1 toate elementele matricii inverse A la puterea -1 sunt numere întregi. Dar ar mai putea exista și alte valori întregi ale lui a care să verifice condiția aceasta? Răspunsul este NU, însă trebuie demonstrat riguros.

Cu alte cuvinte, soluția oficială din barem demonstrează că A la puterea -1 are numai elemente din Z dacă a=0 sau a=1. Ar fi trebuit demonstrat că asta se întâmplă dacă și numai dacă a=0 sau a=1. Ceea ce am și făcut în continuare. 




P.S. Asemănător se demonstrează că elementul (–a+1)/det A>-1. Deci, elementul A indice 32 este în modul mai mic decât 1. Rezultă că nu poate fi întreg decât pentru a=0 sau a=1.

P.P.S.

Domnii Radu Vințan și Mircea Crăciun, doamnele Florentina Pavăl și Maria Zamfir, propun o demonstrație a necesității și suficienței condiției det A = -1 bazată pe formulele și implicațiile următoare: det (A. 1/A) = det A. det 1/A = det A. 1/det A; dar det (A.1/A) = det I = 1 implică det A x det 1/A = 1.

Dar det A și det 1/A, fiind determinanți ai unor matrici cu elemente numere întregi sunt, la rândul lor, numere întregi. Rezultă că det A este divizor al lui 1 și că, în condițiile problemei, det A = -1 (în plus, cred că elevul ar fi trebuit să precizeze că dacă a € Z, atunci matricea A (a) cu elemente polinoame cu coeficienți întregi are toate elementele numere întregi).

Această demonstrație are un grad de generalitate mai mare decât a subsemnatului. Demonstrația mea a fost mai stufoasă pentru că, după atâția ani, nu mai am în minte toate formulele.

Dar cerința demonstrației explicite a necesității și suficienței condiției det A = -1, a dvs, a mea sau alta, rămâne – și ea nu este cerută în barem, astfel încât sunt puși pe aceeași treaptă elevii care au scris la ghici det A = -1, pentru că „se potrivea”, și elevii care știu exact de ce au scris ce au scris.

Urmăriți Republica pe Google News

Urmăriți Republica pe Threads

Urmăriți Republica pe canalul de WhatsApp 

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.



Îți recomandăm

Familia Mirică

„Eu, soția, mama și tata. Mai nou, sora și cumnatul care au renunțat să lucreze într-o firmă mare de asigurări ca să ne ajute cu munca pământului. Au fugit din București și au venit la fermă, pentru că afacerea are nevoie de forțe proaspete. Și cei 45 de angajați ai noștri, pe care-i considerăm parte din familie”. Aceasta este aritmetica unei afaceri de familie care poate fi sursă de inspirație pentru toți tinerii care înțeleg cât de mult a crescut valoarea pământului în lumea în care trăim.

Citește mai mult

Dan Byron

Într-un dialog deschis, așa cum sunt și majoritatea pieselor scrise de el, Daniel Radu, cunoscut mai degrabă ca Dan Byron, a vorbit recent la podcastul „În oraș cu Florin Negruțiu” despre copilăria sa, cântatul pe străzi la vârsta de 16 ani, amintirile mai puțin plăcute de la Liceul Militar de Muzică, dar și despre muzica sa și publicul ei întinerit. (Foto: Cristi Șuțu)

Citește mai mult

RetuRO

Sunt pline rețelele sociale cu postări ale oamenilor care descriu că simt furie, frustrare, neputință, când văd deșeuri în Lacul Roșu sau lacul cu nuferi din Ipoteștii lui Eminescu, în stațiuni montane sau pe litoral. Le vedem peste tot - pe stradă, pe marginea drumurilor naționale, în tren, din tren, pe lângă calea ferată, în grădinile blocurilor, în gropile de gunoi de la marginea satelor, pe albiile pârâurilor și râurilor, în păduri.

Citește mai mult