Sari la continut

Revoluția online

România digitală este cea care ne face să mergem înainte. Un proiect Republica, susținut de eMAG.

Bacalaureat Mate-Info 2020 – un comentariu despre rigoare

Cristian Tudor Popescu

Între subiectele Mate-Info de la Bacalaureatul ale cărui rezultate se dau astăzi, mi-a atras atenția o chestiune de rigoare. La subiectul al II-lea, problema 1, punctul c), soluția nu mi se pare riguroasă. Într-adevăr, dacă a=0 sau a=1 toate elementele matricii inverse A la puterea -1 sunt numere întregi. Dar ar mai putea exista și alte valori întregi ale lui a care să verifice condiția aceasta? Răspunsul este NU, însă trebuie demonstrat riguros.

Cu alte cuvinte, soluția oficială din barem demonstrează că A la puterea -1 are numai elemente din Z dacă a=0 sau a=1. Ar fi trebuit demonstrat că asta se întâmplă dacă și numai dacă a=0 sau a=1. Ceea ce am și făcut în continuare. 




P.S. Asemănător se demonstrează că elementul (–a+1)/det A>-1. Deci, elementul A indice 32 este în modul mai mic decât 1. Rezultă că nu poate fi întreg decât pentru a=0 sau a=1.

P.P.S.

Domnii Radu Vințan și Mircea Crăciun, doamnele Florentina Pavăl și Maria Zamfir, propun o demonstrație a necesității și suficienței condiției det A = -1 bazată pe formulele și implicațiile următoare: det (A. 1/A) = det A. det 1/A = det A. 1/det A; dar det (A.1/A) = det I = 1 implică det A x det 1/A = 1.

Dar det A și det 1/A, fiind determinanți ai unor matrici cu elemente numere întregi sunt, la rândul lor, numere întregi. Rezultă că det A este divizor al lui 1 și că, în condițiile problemei, det A = -1 (în plus, cred că elevul ar fi trebuit să precizeze că dacă a € Z, atunci matricea A (a) cu elemente polinoame cu coeficienți întregi are toate elementele numere întregi).

Această demonstrație are un grad de generalitate mai mare decât a subsemnatului. Demonstrația mea a fost mai stufoasă pentru că, după atâția ani, nu mai am în minte toate formulele.

Dar cerința demonstrației explicite a necesității și suficienței condiției det A = -1, a dvs, a mea sau alta, rămâne – și ea nu este cerută în barem, astfel încât sunt puși pe aceeași treaptă elevii care au scris la ghici det A = -1, pentru că „se potrivea”, și elevii care știu exact de ce au scris ce au scris.

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.

Comentarii. Intră în dezbatere
  • Maron_S check icon
    In barem se spune ca valorile obtinute pentru a "convin", adica pt. ele se verifica faptul ca inversa are toate elementele intregi. (adica e si necesar si suficient ca a=0 sau a=1) Am scris mai jos ceva mai detaliat. + comentariile celelalte. Deci demonstratia din barem este si corecta si completa. Cred ca , pentru a fi riguros (asa cum acuza ca nu sunt cei care au facut subiectele/baremul) , dl CTP sa recunoasca ca a gresit. Asta e riscul cand crezi ca te pricepi la toate, si esti si mai destept decat profesionistii, si ii mai si faci de rusine ca nu au rigurozitate, cand tu insuti esti superficial
    • Like 1
  • Yay! Honorable mention :) Imi fac tricou.

    Aveti dreptate, nu se cerea demonstratia, si din nefericire ne indreptam catre examene de tip grila (eu asa am vazut baremul). Imi aduc aminte cum aratau ale noastre - nici eu nu sunt proaspata de pe bancile scolii, am dat BAC-ul acum fix 20 de ani, si pe atunci se puncta fiecare liniuta a demonstratiei. Adica daca as fi sarit direct la det(A(a))=-1 pierdeam jumatate din punctaj. Acum...

    Oricum, la o rata de promovare de 63% te cam sperii. Vorbeam cu Jonn Jonzz cand au fost facute publice subiectele, si comentam ca sunt banale. Am obiceiul sa 'dau' BAC-ul la mate si la Romana in fiecare an, ca sa nu imi rugineasca rotitele, si in general adun de un 7.50-8.00 in 45 de minute. Anul asta am luat 9.75 in 30 de minute.

    Din punctul meu de vedere scoala isi admite impotenta - excluzand materia din semestrul 2 accepta tacit faptul ca treaba cu online-ul a fost o mare gogorita. Apoi da niste subiecte de tot rasul (sotul meu, care nu are nici o treaba cu matematica si nici nu vorbeste limba romana a luat 6 fara probleme)... Iar rata de promovare continua sa fie groaznica.

    Cum zic copiii din ziua de azi: Csf? Ncsf.
    • Like 2
    • @ Maria Zamfir
      check icon
      Ba ai avea csf.
      Chiar mă gîndeam că, după atîtea discuții nesfîrșite despre natura sterilă a programei, nimeni nu a remarcat cît de abstractă e chiar problema în cauză!
      Personal, estimez că nici 1% din absolvenți nu vor mai folosi vreodată-n viața lor matrice, determinanți și multe alte noțiuni de genul acesta. Ok, cu excepția cazurilor cînd:
      a) își continuă studiile (unde astfel de noțiuni le sunt necesare pentru a înțelege alte noțiuni pe care nu le vor folosi niciodată)
      b) au un copil care urmează să dea examenul pentru bacalaureat
      • Like 2
    • @
      Nu e asa - matricile si corpurile vectoriale sunt esentiale pentru programare, circuite integrate, analiza de date, marketing inteligent, sociologie, practic tot ce face pamantul sa se invarta in zilele noastre. Si astea sunt totusi subiecte de mate-info. Elevul cam stie incotro se indreapta.
      • Like 2
    • @ Maria Zamfir
      check icon
      Și de unde exact rezultă că "nu e asa"?
      Adevărat, matricile au utilitate în domeniile pomenite de dvs, și ce-i cu asta? Nici măcar 1% din bacalaureaţi nu le vor folosi.
      Īn afară de matematicieni sau cercetători, nimănui nu-i pasă īn mod serios de matrici și grupuri.
      • Like 0
  • paul check icon
    O matrice cu elemente dintr-un inel comutativ si unitar A, este inversabila in inelul matricilor cu elemente din A daca si numai daca det(A) este element inversabil in inelul A. In cazul nostru, A are inversa o matrice cu elemente intregi daca si numai daca det(A)=+1 sau det(A)=-1. Daca det(A) e diferit de 0, +1,-1 atunci A este inversabila, dar privita ca matrice cu elemente din Q, deci elementele inversei vor fi din Q, numere rationale. Nu cred ca elevii stiu asta.
    • Like 1
  • Maron_S check icon
    Pentru ca inversa matricei A(a) sa aibe toate elementele numere intregi este necesar ca determinantul ei sa fie numar intreg (nu si suficient, intr-adevar). Deci este necesar ( din formula det(A^-1) = 1/det(A) ) ca det(A) sa divida pe 1, si obtinem ca e necesar ca a=0 sau a=1 (nu mai sunt alte variante). Este suficient? Prin verificare in matricea A vedem ca obtinem elemente intregi, determinatul lui A este -1 iar matricea adjuncta are tot elemente intregi (pt ca A are toate elemente intregi). Din A^-1 = [1/det(A)]xA* rezulta ca toate elementele matricei inverse sunt intregi. (in barem se spune ca a=0 si a=1 convin )
    Deci este necesar si suficient ca a=0 sau a=1. (nu mai sunt alte solutii)

    Deci cred ca in barem este corect, desi succint.
    • Like 2
  • Fie B(a) = A(a) ^(-1).

    1. Daca B(a) are toate elementele numere intregi, atunci det(B(a)) este numar intreg. Dar det(B(a)) = 1/ det(A(a)) = -1 / (a^2 -a +1) = -1/ ( (a-0.5)^2 + 0.75), deci -4/3 <= det(B(a)) < 0, deci det(B(a)) trebuie sa fie egal cu -1, deci a^2 -a +1 = 1, deci a = 0 sau a = 1

    2. Daca a=0 sau a=1, atunci verificam ca B(a) are toate elementele numere intregi.
    • Like 2
    • @ Andrei Ciupan
      Maron_S check icon
      da, asta e logica. Dl. CTP nu a inteles punctul 2. , pentru ca, spune dansul , nu e suficient ca determinantul unei matrici sa fie numar intreg, pentru ca matricea sa aibe toate elementele numere intregi. In barem se spune ca valorile obtinute pentru a "convin", adica pt. ele se verifica faptul ca inversa are toate elementele intregi. Am scris mai sus ceva mai detaliat. Deci demonstratia din barem este si corecta si completa. Cred ca , pentru a fi riguros (asa cum acuza ca nu sunt cei care au facut subiectele/baremul) , dl CTP sa recunoasca ca a gresit. Asta e riscul cand crezi ca te pricepi la toate, si esti si mai destept decat profesionistii, si ii mai si faci de rusine ca nu au rigirozitate, cand tu insuti te apropii de termenul superficial.
      • Like 3
  • Cerinta de la II.1.c): Determinati numerele întregi a pentru care inversa matricei A(a) are toate elementele numere intregi.

    O solutie, pe scurt:
    Pentru a in Z toate elementele matricei A(a) sunt intregi. Rezulta ca det(A) este in Z.
    Daca A^{-1}(a) are toate elementele intregi, atunci det(A^{-1}(a)) este in Z. Asadar pentru ca solutia ceruta sa existe este necesar ca det(A^{-1}(a)) sa fie in Z. Impunem deci aceasta conditie.

    Stim ca det(A(a)) * det(A^{-1}(a)) = 1
    Mai stim si ca det(A(a)) este in Z si ca det(A^{-1}(a)) este in Z, conform conditiei de mai sus. Din aceste 3 relatii rezulta ca det(A) poate fi doar 1 sau -1. Avand in vedere forma lui det(A) determinata la subpunctul b) si luand in considerare proprietatile functiei polinomiale de gradul 2, avem ca det(A) = -1. De aici si din faptul ca a este intreg rezulta ca a poate fi doar 0 sau 1.

    Concluzie: Nu este nevoie sa calculam forma exacta a matricei A^{-1} DAR domnul CTP are dreptate sa critice schita de solutie din barem, vom vedea imediat si de ce. Iata cum incepe formularea din barem pentru problema II.1.c):

    "Cum a ∈ Z , inversa matricei A(a) are toate elementele numere întregi daca det(A(a)) este divizor al lui 1"

    Implicatia din barem este: Daca det(A(a)) este divizor al lui 1, rezulta ca A^{-1}(a) are toate elementele numere intregi. Aceasta NU este implicatia utila pentru aceasta demonstratie, implicatia utila este cea inversa: Daca A^{-1}(a) are toate elementele intregi, atunci det(A(a)) este divizor al lui 1.
    Se intelege desigur ca baremul nu contine solutii redactate complet, cu toti pasii de rigoare. Totusi, pasii esentiali care sunt trecuti in barem ar trebui sa fie corecti.
    • Like 3
  • AA −¹ =I₃ de unde detAx det A−¹=1, cum A si inversa au elementele întregi condiția necesară și suficientă este ca det A să fie 1 sau -1, deci nu este nicio scăpare sau lipsă de rigurozitate. Condiția din barem presupune cunoașterea definiției.


    • Like 4
  • Uhm, OK, sper sa nu imi dau cu firma in cap, dar exista o proprietate a determinantului matricei inverse care spune ca det (A(a)^-1))= 1/det(A(a)). De aceea daca det (A(a))=0, matricea este neinversabila.

    Daca a este numar intreg, det(A(a)) este inevitabil intreg (l-am calculat deja la punctul b), ergo daca vreau ca det(A(a)^-1) sa fie numar intreg, trebuie ca 1/det(A(a)) sa fie numar intreg. Det(A(a)) TREBUIE sa fie divizor al lui 1.

    Stim deja ca este strict negativ, deci pentru a fi divizor al lui 1, nu exista decat posibilitatea -1, si de aici, rezulta a=0 sau a=1, ca solutii ale ecuatiei a(a-1)=0

    Dumneavoastra ati avea dreptate cu necesitatea partii a doua a demonstratiei daca nu am sti aceasta proprietate a determinantului matricii inverse. Pe care ar trebui sa o stim (s-ar putea sa am eu memorie de elefant...). o.o Cred ca noua ne-a predat-o profesoara de mate (impreuna cu demonstratia aferenta), dar nu stiu ce mai e in manuale acum.

    Cert e ca asta scrieti si dumneavoastra pe randul 1 al paginii 3. A(a)* are numai elemente intregi, deci ca A(a)^-1 sa aiba numai elemente intregi, det(A(a)) trebuie sa fie divizor al lui 1. Daca 1/det(A(a)) apartine Q, propozitia este un nonsens, date fiind regulile de inmultire ale unei matrici cu un numar oarecare.

    Oricum, eu asa am rezolvat chestia, si mi se pare si comprehensiv, si mult mai rapid, pentru ca n-a fost nevoie de calculul A*.

    PS. Scuze, l-am corectat de zece ori pentru ca e greu sa scrii mate in fereastra. Cred ca imi mai lipses o paranteza-doua-trei, dar...
    • Like 3
    • @ Maria Zamfir
      Doamnă Maria Zamfir, NU este vorba ca determinantul matricii inverse să fie un număr întreg, cerința este ca TOATE elementele matricii inverse să fie numere întregi. Dacă determinantul unei matrici este număr întreg NU rezultă că matricea ar avea toate elementele numere întregi.
      Să luăm, de pildă, det (1/2; 1; 2; 2).
      Calculând determinantul, avem: ½ x 2- 2 x 1=1- 2=-1
      Cu drag,
      CTP
      • Like 4
    • @ cristian tudor popescu
      1/2 apartine Q. Daca luam in considerare matricea de 2 x 2 pe care o propuneti, ati introdus deja un non-integer, deci A11 din A(a) nu mai e nu mai e in Z. Ori cerinta e ca problema sa fie rezolvata in Z, cu variabila fiind in Z.

      EDIT: Si ca sa fiu riguroasa, daca o matrice are ca elemente numere intregi, determinantul nu poate fi decat un numar intreg. Propozitia nu este biunivoca - faptul ca determinantul unei matrici este un numar intreg nu implica direct faptul ca toate elementele matricii sunt intregi.
      • Like 2
    • @ cristian tudor popescu
      Maron_S check icon
      Nu este suficient ca determinantul matricii inverse sa fie numar intreg, dar este necesar (altfel matricea ar avea termeni neintregi). Deci este necesar ca det(A) sa divida pe 1, deci este necesar ca a=0 sau a=1. Este suficient? Prin verificare in matricea A vedem ca obtinem elemente intregi, determinatul lui A este -1 iar matricea adjuncta are tot elemente intregi (pt ca A are toate elemente intregi). Din A^-1 = [1/det(A)]xA* rezulta ca toate elementele matricei inverse sunt intregi. (in barem se spune ca a=0 si a=1 convin ) Cu stima
      • Like 2
  • Nu e corect pentru ca nu exista in barem.Majoritatea profesorilor de liceu nu accepta solutia corecta pentru ca nu exista in barem ....Asta e nivelul actual al invatamantului din Romania
    • Like 2
    • @ Mircea Craciun
      Er, nu. Singura problema a felului in care a rezolvat CTP-ul subiectele este ca se complica inutil.

      Practic, domnul Popescu re-demonstreaza o proprietate a matricii inverse pe care elevii ar trebui sa o cunoasca. Si eu, si doamna Paval parem a o cunoaste. dar solutia domnului Popescu nu ar fi depunctata de barem. Domnul Popescu re-demonstreaza trei proprietati ale determinantilor, matricelor inverse sau A* pe care elevul ar putea sa le aplice, daca le-ar sti, in 5 minute in loc de 20.

      Un elev care ar putea face spontan demonstratia domnului Popescu este extrem de inteligent, dar a pierdut timp pentru celelalte subiecte.
      • Like 3
  • Bun! O sugestie: ar fi util sa poata fi publicate articole cu secvente de cod tex interpretate (de exemplu A^{-1} ar arata mai bine decat A-1, A_{32} ar arata mai bine decat A32 etc.; math stack exchange face chestia asta, de exemplu)
    • Like 3
    • @ Jonn Jonzz
      Vreti sa spuneti ca CTP nu scrie frumos de mana? :)

      Daca voia sa se chinuie putea sa o scrie si in Word, dar n-avea rost. Oricum, cred ca nu are dreptate, si el singur se duce in the tall grass incepand de la pagina 3. Dupa ce ajunge la A* nu mai are nevoie de nimic.

      • Like 1
    • @ Maria Zamfir
      Eee... avand in vedere cum scriu eu de mana, nu prea am ce sa comentez :D
      Nu, ma refeream la textul articolului, pe unele site-uri apar sectiuni cu ecuatii editate frumos in tex. Asa si in comentarii as cateodata sa am functionalitatea asta dar na... mi-e ca cer prea mult si asa.
      • Like 0
    • @ Jonn Jonzz
      De cate ori scriem de mate pe aici? Eu nu ma pot obosi nici macar cu diacritice :/
      • Like 1
    • @ Maria Zamfir
      Asta asa e :P
      • Like 0


Îți recomandăm

Testare Covid-19

„Toată lumea așteaptă ca rezultatul să fie pozitiv sau negativ. În biologia moleculară, rezultatul este detectabil/ nedetectabil. Negativ sau pozitiv se pot asocia altor tipuri de teste, dar nu acestor tipuri de teste”, explică dr. Andreea Alexandru, director medical, divizia de laboratoare Regina Maria.

Citește mai mult

Navigând împreună spre viitor

„M-a luat așa, ca pe șah, m-a aranjat, deci eu nu gândeam în perioada aia. De fapt, când primești vestea asta, tu... ești pur și simplu... te oprești în timp și ai în față un hău și nu știi unde să pornești”. Aceasta este mărturia Lilianei, a cărei poveste impresionantă vă invit să o descoperiți.

Citește mai mult

Dan Byron_FB

Se numește Daniel Radu, are 43 de ani și a copilărit într-un bloc lung, aflat lângă un altul, în ruină, de pe Șoseaua Pantelimon din București. În lumea aceea, mulți copii săraci, jefuiți de către soartă de dragoste și siguranță, căutau să recupereze ceva de la viață din buzunare străine și să egaleze scorul lovindu-i pe cei mai slabi decât ei.

Citește mai mult