Sari la continut

Vorbește cu Republica și ascultă editorialele audio

Vă mulțumim că ne sunteți alături de nouă ani Ascultați editorialele audio publicate pe platformă. Un proiect de inovație în tehnologie susținut de DEDEMAN.

Bacalaureat Mate-Info 2020 – un comentariu despre rigoare

Cristian Tudor Popescu

Între subiectele Mate-Info de la Bacalaureatul ale cărui rezultate se dau astăzi, mi-a atras atenția o chestiune de rigoare. La subiectul al II-lea, problema 1, punctul c), soluția nu mi se pare riguroasă. Într-adevăr, dacă a=0 sau a=1 toate elementele matricii inverse A la puterea -1 sunt numere întregi. Dar ar mai putea exista și alte valori întregi ale lui a care să verifice condiția aceasta? Răspunsul este NU, însă trebuie demonstrat riguros.

Cu alte cuvinte, soluția oficială din barem demonstrează că A la puterea -1 are numai elemente din Z dacă a=0 sau a=1. Ar fi trebuit demonstrat că asta se întâmplă dacă și numai dacă a=0 sau a=1. Ceea ce am și făcut în continuare. 




P.S. Asemănător se demonstrează că elementul (–a+1)/det A>-1. Deci, elementul A indice 32 este în modul mai mic decât 1. Rezultă că nu poate fi întreg decât pentru a=0 sau a=1.

P.P.S.

Domnii Radu Vințan și Mircea Crăciun, doamnele Florentina Pavăl și Maria Zamfir, propun o demonstrație a necesității și suficienței condiției det A = -1 bazată pe formulele și implicațiile următoare: det (A. 1/A) = det A. det 1/A = det A. 1/det A; dar det (A.1/A) = det I = 1 implică det A x det 1/A = 1.

Dar det A și det 1/A, fiind determinanți ai unor matrici cu elemente numere întregi sunt, la rândul lor, numere întregi. Rezultă că det A este divizor al lui 1 și că, în condițiile problemei, det A = -1 (în plus, cred că elevul ar fi trebuit să precizeze că dacă a € Z, atunci matricea A (a) cu elemente polinoame cu coeficienți întregi are toate elementele numere întregi).

Această demonstrație are un grad de generalitate mai mare decât a subsemnatului. Demonstrația mea a fost mai stufoasă pentru că, după atâția ani, nu mai am în minte toate formulele.

Dar cerința demonstrației explicite a necesității și suficienței condiției det A = -1, a dvs, a mea sau alta, rămâne – și ea nu este cerută în barem, astfel încât sunt puși pe aceeași treaptă elevii care au scris la ghici det A = -1, pentru că „se potrivea”, și elevii care știu exact de ce au scris ce au scris.

Urmăriți Republica pe Google News

Urmăriți Republica pe Threads

Urmăriți Republica pe canalul de WhatsApp 

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.



Îți recomandăm

Guvernul Ciolacu Inquam

România fierbe de un an. A fiert politic, apoi instituțional, bugetar și, în cele din urmă, economic. În doar 12 luni, economia și societatea au intrat într-o spirală a degradării. Iar în centrul acestui haos se află Guvernul Ciolacu — un guvern care a reușit să cheltuiască peste 70 de miliarde de euro în plus, fără să lase urme clare de dezvoltare sau de bunăstare! Foto: Inquam Photos/Octav Ganea

Citește mai mult

Ferma Cernat

În ciuda tuturor costurilor și dificultăților, am simțit la acești oameni o dragoste profundă pentru pământul care ne hrănește pe toți. „Banii au un singur dezavantaj: nu se pot mânca”, râde dl. Moldovan.

Citește mai mult

articol audio
play icon mic icon Shelly la BT Talks

În cel mai nou episod al podcastului economic al Băncii Transilvania, BT Business Talks, am stat de vorbă cu Andrei „Selly” Șelaru despre transformarea din creator de conținut în antreprenor, despre Beach, Please și despre Nibiru – proiectul unei stațiuni private lângă Costinești, gândită ca o platformă de divertisment cu standarde unitare, mix de evenimente și o infrastructură permanentă.

Citește mai mult

Guvernul Ciolacu 2 și Iohannis

Efectele catastrofale ale guvernului-rotativă, cu premierii Ciucă - Ciolacu și miniștrii de Finanțe Cîciu - Boloș, ultimii învârtiți apoi pe la Fonduri Europene, se văd cu ochiul liber. În 2025, 7% din veniturile bugetare totale merg spre plata dobânzilor pentru datoriile contractate de România, față de 5% în 2024.

Citește mai mult

 Chris M

Pentru Chris Simion-Mercurian, scriitoarea și regizoarea de teatru care a pornit visul, și pentru partenerul ei, Tiberiu Simion-Mercurian, întreaga călătorie a însemnat nouă ani de eforturi, sacrificii și momente de criză, dar și întâlniri și emoții imposibil de trăit altfel. „Nouă ani a durat. A început în 2016. A fost foarte complicat. Și foarte impredictibil.

Citește mai mult