Între subiectele Mate-Info de la Bacalaureatul ale cărui rezultate se dau astăzi, mi-a atras atenția o chestiune de rigoare. La subiectul al II-lea, problema 1, punctul c), soluția nu mi se pare riguroasă. Într-adevăr, dacă a=0 sau a=1 toate elementele matricii inverse A la puterea -1 sunt numere întregi. Dar ar mai putea exista și alte valori întregi ale lui a care să verifice condiția aceasta? Răspunsul este NU, însă trebuie demonstrat riguros.
Cu alte cuvinte, soluția oficială din barem demonstrează că A la puterea -1 are numai elemente din Z dacă a=0 sau a=1. Ar fi trebuit demonstrat că asta se întâmplă dacă și numai dacă a=0 sau a=1. Ceea ce am și făcut în continuare.
P.S. Asemănător se demonstrează că elementul (–a+1)/det A>-1. Deci, elementul A indice 32 este în modul mai mic decât 1. Rezultă că nu poate fi întreg decât pentru a=0 sau a=1.
P.P.S.
Domnii Radu Vințan și Mircea Crăciun, doamnele Florentina Pavăl și Maria Zamfir, propun o demonstrație a necesității și suficienței condiției det A = -1 bazată pe formulele și implicațiile următoare: det (A. 1/A) = det A. det 1/A = det A. 1/det A; dar det (A.1/A) = det I = 1 implică det A x det 1/A = 1.
Dar det A și det 1/A, fiind determinanți ai unor matrici cu elemente numere întregi sunt, la rândul lor, numere întregi. Rezultă că det A este divizor al lui 1 și că, în condițiile problemei, det A = -1 (în plus, cred că elevul ar fi trebuit să precizeze că dacă a € Z, atunci matricea A (a) cu elemente polinoame cu coeficienți întregi are toate elementele numere întregi).
Această demonstrație are un grad de generalitate mai mare decât a subsemnatului. Demonstrația mea a fost mai stufoasă pentru că, după atâția ani, nu mai am în minte toate formulele.
Dar cerința demonstrației explicite a necesității și suficienței condiției det A = -1, a dvs, a mea sau alta, rămâne – și ea nu este cerută în barem, astfel încât sunt puși pe aceeași treaptă elevii care au scris la ghici det A = -1, pentru că „se potrivea”, și elevii care știu exact de ce au scris ce au scris.
Alătură-te comunității noastre. Scrie bine și argumentat și poți fi unul dintre editorialiștii platformei noastre.
Aveti dreptate, nu se cerea demonstratia, si din nefericire ne indreptam catre examene de tip grila (eu asa am vazut baremul). Imi aduc aminte cum aratau ale noastre - nici eu nu sunt proaspata de pe bancile scolii, am dat BAC-ul acum fix 20 de ani, si pe atunci se puncta fiecare liniuta a demonstratiei. Adica daca as fi sarit direct la det(A(a))=-1 pierdeam jumatate din punctaj. Acum...
Oricum, la o rata de promovare de 63% te cam sperii. Vorbeam cu Jonn Jonzz cand au fost facute publice subiectele, si comentam ca sunt banale. Am obiceiul sa 'dau' BAC-ul la mate si la Romana in fiecare an, ca sa nu imi rugineasca rotitele, si in general adun de un 7.50-8.00 in 45 de minute. Anul asta am luat 9.75 in 30 de minute.
Din punctul meu de vedere scoala isi admite impotenta - excluzand materia din semestrul 2 accepta tacit faptul ca treaba cu online-ul a fost o mare gogorita. Apoi da niste subiecte de tot rasul (sotul meu, care nu are nici o treaba cu matematica si nici nu vorbeste limba romana a luat 6 fara probleme)... Iar rata de promovare continua sa fie groaznica.
Cum zic copiii din ziua de azi: Csf? Ncsf.
Chiar mă gîndeam că, după atîtea discuții nesfîrșite despre natura sterilă a programei, nimeni nu a remarcat cît de abstractă e chiar problema în cauză!
Personal, estimez că nici 1% din absolvenți nu vor mai folosi vreodată-n viața lor matrice, determinanți și multe alte noțiuni de genul acesta. Ok, cu excepția cazurilor cînd:
a) își continuă studiile (unde astfel de noțiuni le sunt necesare pentru a înțelege alte noțiuni pe care nu le vor folosi niciodată)
b) au un copil care urmează să dea examenul pentru bacalaureat
Adevărat, matricile au utilitate în domeniile pomenite de dvs, și ce-i cu asta? Nici măcar 1% din bacalaureaţi nu le vor folosi.
Īn afară de matematicieni sau cercetători, nimănui nu-i pasă īn mod serios de matrici și grupuri.
Deci este necesar si suficient ca a=0 sau a=1. (nu mai sunt alte solutii)
Deci cred ca in barem este corect, desi succint.
1. Daca B(a) are toate elementele numere intregi, atunci det(B(a)) este numar intreg. Dar det(B(a)) = 1/ det(A(a)) = -1 / (a^2 -a +1) = -1/ ( (a-0.5)^2 + 0.75), deci -4/3 <= det(B(a)) < 0, deci det(B(a)) trebuie sa fie egal cu -1, deci a^2 -a +1 = 1, deci a = 0 sau a = 1
2. Daca a=0 sau a=1, atunci verificam ca B(a) are toate elementele numere intregi.
O solutie, pe scurt:
Pentru a in Z toate elementele matricei A(a) sunt intregi. Rezulta ca det(A) este in Z.
Daca A^{-1}(a) are toate elementele intregi, atunci det(A^{-1}(a)) este in Z. Asadar pentru ca solutia ceruta sa existe este necesar ca det(A^{-1}(a)) sa fie in Z. Impunem deci aceasta conditie.
Stim ca det(A(a)) * det(A^{-1}(a)) = 1
Mai stim si ca det(A(a)) este in Z si ca det(A^{-1}(a)) este in Z, conform conditiei de mai sus. Din aceste 3 relatii rezulta ca det(A) poate fi doar 1 sau -1. Avand in vedere forma lui det(A) determinata la subpunctul b) si luand in considerare proprietatile functiei polinomiale de gradul 2, avem ca det(A) = -1. De aici si din faptul ca a este intreg rezulta ca a poate fi doar 0 sau 1.
Concluzie: Nu este nevoie sa calculam forma exacta a matricei A^{-1} DAR domnul CTP are dreptate sa critice schita de solutie din barem, vom vedea imediat si de ce. Iata cum incepe formularea din barem pentru problema II.1.c):
"Cum a ∈ Z , inversa matricei A(a) are toate elementele numere întregi daca det(A(a)) este divizor al lui 1"
Implicatia din barem este: Daca det(A(a)) este divizor al lui 1, rezulta ca A^{-1}(a) are toate elementele numere intregi. Aceasta NU este implicatia utila pentru aceasta demonstratie, implicatia utila este cea inversa: Daca A^{-1}(a) are toate elementele intregi, atunci det(A(a)) este divizor al lui 1.
Se intelege desigur ca baremul nu contine solutii redactate complet, cu toti pasii de rigoare. Totusi, pasii esentiali care sunt trecuti in barem ar trebui sa fie corecti.
Daca a este numar intreg, det(A(a)) este inevitabil intreg (l-am calculat deja la punctul b), ergo daca vreau ca det(A(a)^-1) sa fie numar intreg, trebuie ca 1/det(A(a)) sa fie numar intreg. Det(A(a)) TREBUIE sa fie divizor al lui 1.
Stim deja ca este strict negativ, deci pentru a fi divizor al lui 1, nu exista decat posibilitatea -1, si de aici, rezulta a=0 sau a=1, ca solutii ale ecuatiei a(a-1)=0
Dumneavoastra ati avea dreptate cu necesitatea partii a doua a demonstratiei daca nu am sti aceasta proprietate a determinantului matricii inverse. Pe care ar trebui sa o stim (s-ar putea sa am eu memorie de elefant...). o.o Cred ca noua ne-a predat-o profesoara de mate (impreuna cu demonstratia aferenta), dar nu stiu ce mai e in manuale acum.
Cert e ca asta scrieti si dumneavoastra pe randul 1 al paginii 3. A(a)* are numai elemente intregi, deci ca A(a)^-1 sa aiba numai elemente intregi, det(A(a)) trebuie sa fie divizor al lui 1. Daca 1/det(A(a)) apartine Q, propozitia este un nonsens, date fiind regulile de inmultire ale unei matrici cu un numar oarecare.
Oricum, eu asa am rezolvat chestia, si mi se pare si comprehensiv, si mult mai rapid, pentru ca n-a fost nevoie de calculul A*.
PS. Scuze, l-am corectat de zece ori pentru ca e greu sa scrii mate in fereastra. Cred ca imi mai lipses o paranteza-doua-trei, dar...
Să luăm, de pildă, det (1/2; 1; 2; 2).
Calculând determinantul, avem: ½ x 2- 2 x 1=1- 2=-1
Cu drag,
CTP
EDIT: Si ca sa fiu riguroasa, daca o matrice are ca elemente numere intregi, determinantul nu poate fi decat un numar intreg. Propozitia nu este biunivoca - faptul ca determinantul unei matrici este un numar intreg nu implica direct faptul ca toate elementele matricii sunt intregi.
Practic, domnul Popescu re-demonstreaza o proprietate a matricii inverse pe care elevii ar trebui sa o cunoasca. Si eu, si doamna Paval parem a o cunoaste. dar solutia domnului Popescu nu ar fi depunctata de barem. Domnul Popescu re-demonstreaza trei proprietati ale determinantilor, matricelor inverse sau A* pe care elevul ar putea sa le aplice, daca le-ar sti, in 5 minute in loc de 20.
Un elev care ar putea face spontan demonstratia domnului Popescu este extrem de inteligent, dar a pierdut timp pentru celelalte subiecte.
Daca voia sa se chinuie putea sa o scrie si in Word, dar n-avea rost. Oricum, cred ca nu are dreptate, si el singur se duce in the tall grass incepand de la pagina 3. Dupa ce ajunge la A* nu mai are nevoie de nimic.
Nu, ma refeream la textul articolului, pe unele site-uri apar sectiuni cu ecuatii editate frumos in tex. Asa si in comentarii as cateodata sa am functionalitatea asta dar na... mi-e ca cer prea mult si asa.