Răspunsul lui Nicușor Dan la observațiile lui CTP: Politicienii - matematicieni nu mai trebuie provocați pe probleme de matematică în campanie căci se grăbesc și pot greși

„In primul rand va multumesc pentru atentie si pentru observatii. Intuitia de la punctul iii este corecta, adica expresia (a^2+b^2)/(ab+1) “are ordinul de marime a lui a/b deci este mai mare decat N”. Insa trebuie sa avem mai multa atentie la estimari pentru a ajunge la rezultat.

Deci punctul iii trebuie inlocuit cu urmatoarele:

iii. Daca b^2 – N < 0, folosim a doua relatie intre radacinile ecuatiei de gradul 2, a(Nb-a) = b^2 – N. Rezulta ca Nb-a este negativ, deci ca a > Nb. [aici intervine a treia observatie/intuitie, cu cat raportul a/b este mai mare, cu atat numarul (a^2+b^2)/(ab+1) este mai mare, si pare ca va fi prea mare].

Intrucat a, b si N sunt numere naturale rezulta ca a este cel putin egala cu Nb+1. Notam x raportul dintre a-1 si b, adica a = bx +1. x este mai mare sau egal cu N.

Inlocuim acum a in functie de b si x in expresia (a^2+b^2)/(ab+1). Obtinem fractia

(x^2 b^2 + 2xb + b^2 +1)/(xb^2 +b + 1) care e evident mai mare decat x deci mai mare decat N. Asta incheie punctul iii.

Toate intrebarile dumneavoastra se refera la punctul iii pe care l-am modificat cu totul, dar le raspund si punctual, pentru completitudine:

1. Contradictia vine din eroarea mea de tastare. Cazul ii a fost b^2 – N > 0, cazul iii este b^2 – N < 0 si nu > 0 cum am tastat.

2. Aveti dreptate, am omis un +1, formula corecta este (a^2+b^2)/(ab+1)= (a/b+b/a) (1-1/(ab+1)). Asta nu e esential in estimare.

3. Aici nu e nicio greseala. Functia x + 1/x este crescatoare pentru x mai mare sau egal cu 1 (caci de exemplu derivata sa este 1-1/x^2, dar se poate si cu un calcul direct simplu) si din ipoteza a/b este mai mare sau egal cu 1.

4. Aici este intr-adevar eroarea de estimare. Grabindu-ma am incurcat intre ele ipotezele.

5. Daca 4 ar fi adevarat am avea ca (a^2+b^2)/(ab+1) ar fi cel putin (N+1/N)(1-1/N^3)=N(1+1/N^2)(1-1/N^3)=N(1+1/N^2-1/N^3-1/N^5). Trebuie sa demonstram ca 1/N^2-1/N^3-1/N^5 este pozitiv deci ca N^3 – N^2 – 1 este pozitiv. Aceasta relatie este adevarata pentru orice numar natural N mai mare ca 1 (1 este patrat perfect deci putem exclude cazul N=1): de exemplu N^3 este cel putin 2N^2 = N^2 + N^2 care este cel putin N^2 + 4 din ipoteza N natural mai mare decat 1.

In concluzie politicienii - matematicieni nu mai trebuie provocati pe probleme de matematica in campanie caci se grabesc si pot gresi. Am glumit. Mi-a facut placere si sa rezolv dupa 32 de ani problema de la olimpiada si sa raspund observatiilor dumneavoastra.”

Citiți și:

Cristian Tudor Popescu: 5 observații la soluția Problema 6 pentru dl Nicușor Dan