Sari la continut

Vorbește cu Republica și ascultă editorialele audio

Vă mulțumim că ne sunteți alături de patru ani. Ascultați editorialele audio publicate pe platforma noastră și testați viitorul tehnologiei. Am implementat conversația vocală direct în browser. Apăsând pe butonul de microfon, puteți cere acces. Un proiect de inovație în tehnologie susținut de DEDEMAN.

Rezolvați această problemă: Într-un sac, se află 24 de bile de marmură – unele albe și unele negre. Din sac, este scoasă la întâmplare o bilă, căreia i se notează culoarea și este pusă înapoi...

Semafor în Germania

Foto: DPA Alliance/ Alamy/ Profimedia

La ultima ediție a testelor TIMSS, elevii români de clasa a opta au obținut un scor mediu de 479 de puncte la matematică, situându-se pe ultimul loc din UE. 

Testul pe care l-au dat a evaluat performanțele elevilor la patru capitole – numerație, algebră, geometrie și date și probabilități. Elevii români au obținut cel mai bun scor la algebră – cu 11 puncte peste media țării, și cel mai slab la capitolul date și probabilități – cu 21 de puncte sub medie.


La problemele de nivel ridicat, elevii români au întâmpinat dificultăți mai serioase decât majoritatea celor din străinătate. Iată un exemplu, la care media internațională a răspunsurilor a fost de 43 din 100, în timp ce în România media a fost de 30 din 100.

„Într-un sac, se află 24 de bile de marmură – unele albe și unele negre. Din sac, este scoasă la întâmplare o bilă, căreia i se notează culoarea și este pusă înapoi. Acest lucru este făcut de 120 de ori, iar o bilă albă apare de de 70 de ori. Câte bile albe este probabil să se afle în sac?”


Conform noii programe la matematică, elevii de clasa a VIII-a trebuie să studieze domeniul de conținut organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică. Însă copiilor li se predau mai multe elemente de statistică descriptivă, care presupun un grad de abstractizare ridicat și pe care un elev obișnuit de gimnaziu nu le întâlnește cu ușurință în lumea reală, și mai puține elemente de probabilități, care să plece de la situații ușor de întâlnit. Au existat elemente de statistică și probabilități și în vechea programă de gimnaziu, dar foarte puține. În clasa a VI-a probabilitățile erau folosite pentru a exemplifica rapoarte. Iar în clasa a VII-a erau prezentate câteva elemente de organizare a datelor.

Elemente de statistică. Indicatorii tendinței centrale (frecvență, medie, mediană, mod și amplitudinea unui set de date) – acesta este titlul capitolului în Manualul de matematică de clasa a VIII-a, realizat de Editura Intuitext, unul dintre cele 3 aprobate de Ministerul Educației, care corespunde domeniului de conținut mai sus amintit. Capitolul pleacă de la un exemplu care are legătură cu viața reală: lista vânzărilor de bilete ale unei companii de transport ( care au costuri diferite), făcute într-un interval de 10 minute. Elevilor li se cere să afle care a fost cel mai vândut produs, care este numărul tranzacțiilor făcute și care este, potrivit probabilităților, următorul bilet vândut după expirarea intervalului de timp dat. Apoi trece la teorie:

  • „Frecvența este un număr care ne arată de câte ori se repetă o valoare numerică într-un set de date. 
  • Modul unui set de date este valoarea numerică cu frecvența cea mai mare, dacă aceasta există.
  • Dacă mai multe valori numerice au aceeași frecvență spunem că setul de date are mai multe valori modale.
  • Dacă toate valorile numerice au aceeași frecvență spunem că setul de date nu conține valori modale.
  • Modul unui set de date ne arată caracteristica cu cea mai mare probabilitate de realizare.”


În sistemul de educație din Germania, probabilitățile sunt predate cu ajutorul abordării constructiviste (la fel ca celelalte teme), care pleacă de la cunoașterea anterioară a elevilor și care îi stimulează ca pe baza acesteia să ajungă la cunoștințe noi. Deși exemplele date inițial și întrebările puse la început copiilor par simple, ele pun bazele înțelegerii unor noțiuni din ce în ce mai avansate și rezolvării unor probleme din ce în ce mai complexe. Și, cel mai important, activând și folosind cu pricepere ceea ce elevul cunoștea deja. La ultima ediție a testării TIMSS, nu au participat și elevi germani de clasa a VIII-a, pentru a putea face o comparație cu scorul României, ci doar elevi de clasa a IV-a. Pe de altă parte, din România, au participat doar elevii de clasa a VIII-a.

În manualul de clasa a VIII-a, realizat de editura Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg din Germania, lecția debutează cu o întrebare care declanșează un conflict cognitiv. Să presupunem că ați putea juca oricare dintre cele trei jocuri de noroc din imaginea de mai jos.

Pe care l-ați alege pentru a avea șanse mari de a nimeri mai frecvent 6?

La Roata Norocului, probabilitate de a obține un 6 este de 2 din 5. La extragerea bilelor, probabilitatea este de 5 din 9, iar la aruncarea zarului de 1 din 6. Prin urmare, cel mai bine ar fi să alegeți al doilea joc.

Apoi manualul îi poartă pe elevi într-o discuție mai amănunțită pe baza unor exemple concrete, ușor de înțeles.

Avem un bol cu bile pare și impare colorate diferit. Care este probabilitatea de a extrage o bilă cu un număr par?

Avem un zar cu 6 fețe. Care este probabilitatea de a cădea după aruncare pe una dintre ele?

Însă ce se întâmplă dacă zarul are forma unui tetraedru, așadar are doar 4 fețe? Care e probabilitatea de a cădea pe fața cu numărul 3 de exemplu?

Dar dacă are 20?

Însă ce se întâmplă dacă zarul are forma unui tetraedru, așadar are doar 4 fețe? Care e probabilitatea de a cădea pe fața cu numărul 3 de exemplu?

Dar dacă are 20?

Se trece apoi la al doilea exemplu de acest tip. Care este probabilitatea ca pioneza să cadă cu acul în sus și care este probabilitatea să cadă cu acul într-o parte?

După un număr mare de aruncări cu acest zar, se observă că probabilitățile ca acesta să cadă pe fața cu numărul 1 este egală cu probabilitatea ca el să cadă pe fața cu numărul 5 – 33,5%. La fel, probabilitățile ca el să cadă pe fețele cu numerele 2, 3 și 4 sunt egale – 11%.

În manualul scrie că trebuie făcute multe aruncări ale pionezei. Astfel, sunt aduse în prim plan rezultatele a trei serii de câte 500 de aruncări și un grafic din care se poate vedea cum evoluează probabilitatea ca pioneza să cadă cu vârful în sus (axa Oy) în funcție de numărul de aruncări (sunt pe axa Ox).


Graficul ne indică următorul lucru: cu cât crește numărul de aruncări, cu atât ne apropiem mai mult de valoarea 0,4. Acest lucru este valabil pentru fiecare din cele 3 serii de aruncări. Reformulând, probabilitatea ca pioneza să cadă cu vârful în sus este de 40%.

După ce se discută pe marginea experimentului de mai sus, este introdusă legea empirică a numerelor mari: dacă un experiment aleatoriu este repetat de foarte multe ori, atunci frecvențele relative ale unui rezultat se abat tot mai puțin în raport cu o anumită valoare, care este considerată a fi probabilitatea acelui rezultat.

Tot la lecția despre probabilități, în același manual, elevilor li se înfățișează un cadran în trei culori cu o săgeată care se poate roti, ca la Roata Norocului.

Apoi elevii sunt întrebați care este probabilitatea ca săgeata să ajungă pe roșu (1/4), care este probabilitatea ca ea să ajungă pe galben (1/4) și care este probabilitatea ca ea să ajungă pe albastru (1/2). Folosirea cercului împărțit în cadrane este o modalitate simplă și eficientă prin care copiii pot să înțeleagă intuitiv ce înseamnă probabilitățile inegale.

Ulterior, lucrurile devin ceva mai complicate – elevii sunt întrebați care este probabilitatea ca săgeata să ajungă de două ori consecutiv pe aceeași culoare de exemplu (roșu, albastru sau galben).

Doar după ce elevii și-au bătut capul, li se arată o modalitate de a face calculele. Dar este foarte probabil să descopere și singuri această soluție.

Această reprezentare este suficient de intuitivă pentru a fi înțeleasă și de către elevii de nivel mediu, care au o capacitate mai redusă de abstractizare.

Chiar dacă nu vei ajunge niciodată statistician, probabilitățile sunt folositoare în viața reală pentru că te pot ajuta să estimezi rezultatul unei acțiuni pe care vrei să o întreprinzi, riscurile sau piedicile pe care le-ai putea întâmpina. Aceste lucruri pot pleca de la simpla estimare a timpului de care ai nevoie pentru a ajunge undeva, în funcție de probabilitatea de a întâlni în cale semafoare pe verde, și poate ajunge la decizii complexe de viață.

Pentru partea cu semafoarele, te pregătește un exercițiu din manual.

O persoană întâlnește 2 semafoare în drumul spre serviciu. Știe că la fiecare din ele este o probabilitate de 50% să-l prindă pe verde. El trage concluzia că 100% va prinde verde măcar la unul din semafoare. Elevii sunt puși să-și spună părerea despre presupunerea acestuia. De fapt, probabilitatea este de 75%.

Dacă se folosesc exemple precum cele de mai sus, este mai potrivit ca elevii să intre mai întâi în contact cu probabilitățile, nu cu elementele de statistică. Pentru că ei întâlnesc multe situații în viața reală care pot fi abordate/ înțelese cu ajutorul probabilităților. Elementele de statistică sunt utile dacă fac măsurători repetate, experimente de laborator etc. Or, puțini dintre elevi au avut astfel de experiențe până în clasa a VIII-a. Și chiar dacă se fac în școală elemente de statistică, ele ar fi mai ușor de înțeles de elevi dacă ar face în prealabil și probabilități.

Articol publicat pe blogul Centrului de Evaluare și Analize Educaționale.

Abonează-te la newsletterul Republica.ro

Primește cele mai bune articole din partea autorilor.

Comentarii. Intră în dezbatere
  • Salutări! și, instructiv, /:)/, nu m-am putut abține!
    Cele bune,
    Purice Narcis-Teofil
    ...dinspre unul dintre prenume e de dedus.
    • Like 0
  • (70/120)*24 albe
    • Like 0
  • Problema sunt cei talentati, care deși au talent nativ la matematici nu vor ajunge niciodata să fie puși in valoare.
    In procesul educațional român, elevului i se impune ce să gândească, să fie superficial și nu să învețe, să gândească liber.
    "Să gândești este dificil.
    De aceea majoritatea oamenilor judecă"
    Carl Jung
    • Like 0
  • Buna ziua totusi cum a ti obtinut la roata norocului probabilitatea de 2 la 5?multumesc
    • Like 0
  • Mr.Oh check icon
    Eu nu vad nici un fel de matematica probabilistica. Eu interpretez exemplele date ca parte a "perceptiei proportiilor". Si cum comenta cineva anterior, vorbim de regula de 3 simpla.

    Multa teorie despre ceva simplu.
    Daca arunci de 10 ori carligul cu momeala in apa vei prinde mai mult peste decat daca o arunci o singura data. In aceasta nu exista nici o teorie de matematica probabilistica.
    O chestie simpla ptr. Copii de clasa VIII a.
    • Like 1
    • @ Mr.Oh
      Cu regret îți spun că n-ai înțeles despre ce e vorba. Bineînțeles că e vorba de probabilități, fiindcă trebuie să ESTIMEZI câte bile sunt de fiecare culoare, tu neputând să le numeri efectiv, ci doar extrăgând în orb câte una. Dar în funcție de câte extrageri faci, proporția bilelor albe din total va fi variabilă, iar rezultatul estimativ poate fi diferit. De exemplu bilele pot fi în cantități egale: 12 și 12, iar tu, din 120 de extrageri poți trage de 70 de ori una albă respectiv de 50 de ori una neagră. Adică exact ca în enunțul problemei. Ia zi, mai luminează-ne acum cum e cu regula de trei simplă, când e vorba de probabilități. Poate n-ai citit cu răbdare postarea mea anterioară.
      • Like 2
    • @ Dan Cojocaru
      Pai regula de 3 simpla ii sa aflii aproximativ bilele. Ca doar nu dai la plesneala. Tu cum aflii? Si daca nu stii sa aplici regula de 3 simpla in clasa a VIII-a , pai nu meriti sa ajungi la liceu.
      • Like 2
    • @ Silviu Pop Sese
      Sigur că e vorba în final de regula de 3 simplă, sau, mai simplu calculat, cum am mai scris: raportul de 7/12 din 24, adică 7/12 x 24 = 14 bile albe. Dar legătura cu calculul probabilităților unde este? (A propos calculul probabilităților face parte tot din matematică). Păi totul este să spunem că dacă numărul de extrageri este foarte foarte mare atunci rezultatul extragerilor noastre va tinde către rezultatul real. Adică dacă dai cu banul, de exemplu și ai 1/2 probabilitate de apariție a unei fețe sau a celeilalte, dacă dai de puține ori vei obține un rezultat neconcludent, de exemplu 10 fața 1 și 15 fața 2. Dar dacă dai cu banul de 1000000 (un milion) de ori vei putea obține, de exemplu, 499995 cu 500005, care este mult mai aproape de rezultatul teoretic (jumate/jumate). În cazul problemei noastre raportul din extrageri este 7/12 pentru albe și 5/12 pentru negre. Mai departe, aproximarea care se face este că numărul de extrageri e suficient de mare, altfel n-avem ce estimare să facem. Deci nu de regula de 3 simplă comentăm noi aici, ci de cât de probabilă și realistă este estimarea noastră când folosim regula de 3 simplă.
      • Like 1
  • Din ce se expune in articol înțeleg că probabilitățile se predau în occident mai puțin ”matematic” și mai mult practic, băbește. Pentru viața reală e corect să facă așa, dar reversul medaliei este că nu există prea multă rigurozitate științifică. Să luăm ca exemplu problema cu sacul cu cele 24 de bile albe / negre. Întrebarea era: câte bile albe este PROBABIL să se afle în sac? Practic înțelegem ce se cere, dar matematic vorbind ce înseamnă acel PROBABIL? Realitatea este că în sac este suficient să se afle O SINGURĂ bilă albă (sau doar una singură neagră). Există probabilitatea - foarte mică - ca și în aceste cazuri să extragem bile ca în enunț: 70 cu 50 - 120 în total. Deci, matematic, întrebarea corectă ar fi care este estimarea numărului de bile albe și negre și CU CE PROBABILITATE avem acest răspuns? Dar deja problema devine ceva mai complicată în acest caz. Ca să ne rezumăm la cazul simplu pe care îl presupune problema, trebuie să facem din start un anumit comentariu și anume: deoarece numărul extragerilor este cu un ordin de mărime (sute) mai mare decât nuimărul bilelor (zeci) putem aproxima că raportul bilelor albe (sau negre) în numărul total al lor tinde către frecvența lor de apariție, deci răspunsul final va fi dat cu o probabilitate bună (deși tot nu am calculat-o exact!!! - asta nu pentru clasă, ci pentru concursuri de matematică de nivel mediu). Restul e simplu: raportul PROBABIL este 70/120 deci 7/12. Iar 7/12 din 24 este 14. Oricum, repet, un elev bun la matematică ar trebui să realizeze că acest răspuns e corect cu o anumită probabilitate (chiar dacă mare și ceva mai greu de calculat). Un elev occidental înțeleg că e format să meargă cu raționamentul doar până la acest nivel pragmatic, nu să meargă cu rigurozitatea până la capăt. O fi bine, o fi rău?
    • Like 1
    • @ Dan Cojocaru
      Pai , este posibilitatea ca 23 sa fie negre , dar a fost norocul sa o prinda pe aia neagra de 70 de ori. Aici ii vb de probalitate , nu de matematica 100%. Pt ca matematic nu ai cu sa stii numarul fix.
      • Like 2
    • @ Silviu Pop Sese
      Vezi răspunsul de mai sus.
      • Like 0
    • @ Dan Cojocaru
      maripos check icon
      Rigurozitate stiintifica in clasa a VIII-a? Ha, ha, ha!!!
      • Like 0
    • @ Dan Cojocaru
      Nu ai nevoie de rigurozitate stiintifica la 14 ani, si nici la 16, ci de a intelege fenomenul si identifica unde se intalnesc in viata reala. Doar 10-15% din copii sunt analitici restul sunt kinetici, vizuali sau auditivi iar o formula stiintifica gen probabilitati, integrale sau alte concepte abstracte de genul sunt suficient de introdus in studiu la facultatile de profil.
      • Like 2
    • @ Dan Cojocaru
      Foarte bine.
      Nu trebuie matematică riguroasă pentru învățământul de masă. În România cam toți merg la liceu, chiar dacă nu le folosește ori nu studiază mai departe. Iar rezultatul se vede. În Germania pentru mulți școala înseamnă 9 clase, după aia se pregătesc pentru meserie iar liceul începe din clasa a V-a când se separă școala generală de liceu. Dar noțiunile de bază și aptitudinile practice trebuie să le aibă toți. Noi ne uităm la vârfurile cele mai înalte dar lăsăm pădurea în paragină.
      Văd că nu ne mai dezbărăm odată de a ne gândi la vârfuri când aceia sunt excepția (și oricum capabili) iar nu regula. Iar rigurozitatea e accesibilă și specifică oricum studiului din clasele mai mari decât a VIII-a.
      • Like 0
  • Am facut un calcul pentru problema cu bilele, cred ca este o probabilitate ca 14 (13,92) bile sa fie albe din cele 24. Nu sunt sigur, deoarece nu stiu deloc matematica, nu am luat BAC-ul la mate, eu fiind la mate-info, nici macar sa despart 2 paranteze nu stiam, totusi profesorii m-au trecut asa chiar daca au vazut ca nu am habar, nu eram singurul in aceeasi situatie. Din clasa mea doar 6 au luat Bac-ul la mate din care 3 cu pile. Tin minte ca uram scoala deoarece nu vedem aplicabilitatea acelor exercitii in viata reala, mereu erau exercitii cu x la n sau la +infinit, pur si simplu ma derurutau, cum adica + sau - infinit, mereu ma intrebam si ii intrebam si pe cei mari: daca imi vor folosi acele exercitii in viata reala iar marea lor majoritate dadeau din umeri. De ce sa invat logaritmi sau sa stiu cati cromozomi X/Y are omul cand aceste lucruri nu ma ajuta cu nimic? Sa nu mai spun ca la informatica ne lasau sa jucam Counter-Strike....daca as avea ocazia sa fac din nou scoala as face-o diferit.
    • Like 2
  • Am facut liceu profil uman , dar vreau sa stiu daca se facea scoala mai buna atunci ca acum , asa ca o sa incerc sa rezolv prb cu bilele. Pai 120 ii nr total de extrageri deci 100% , 70 de bile cat la suta ii din cele 120 . Facem regula de 3 simpla. (70×100) : 120=58 deci 58% din bile probabil sunt albe . 58 % din 24 ii 14 ( aplicand regula de 3 simpla) . Deci probabil sunt 14 bile. Bine nu ma compar cu copii de 14 ani acum , dar totusi de pe vremea mea a inceput deja sa se faca scoala mecanic , rupta de realitate. Sunt sigur ca daca le-ar fi dat cifre seci ar fi rezolvat ecuatia. Daca o integrezi la mediul exterior problema , sunt gata , nu mai stiu nimic. Nu stiu daca analfabetismul functional se aplica si la matematica , dar asta ii cam o dovada. Cum scria si autorul la algebra am fost un pic mai buni , adica la cifre seci . Imi aduc aminte ca atunci cand aveam vreo intrebare mi se spunea sa tac si sa scriu despre dictare. Creierul la copii nu ii stimulat spre creare ci pe stocare de informatii , de parca ii un hard , nu un procesator. Chiar si testele de capacitate sunt orientate spre memorie si nu spre creatie. Pe scurt analfabeti functionali , citim dar nu intelegem nimic.
    • Like 3
    • @ Silviu Pop Sese
      @Silviu Pop Sese
      Algebra studiază în special expresii matematice și transformarea lor, mai puțin numerele, care țin mai mult de aritmetică.
      Dacă facem o analogie cu un calculator, acesta nu conține un "procesator", ci "procesor", mai exact microprocesoare.
      Iar pentru problemă în discuție, nu trebuie să folosim "regula de 3 simpla", ci mai degrabă fracțiile proporționale: 70/120=x/24 ==> x=24 . 70 / 120=14.
      De fapt regula de 3 simplă provine din proporții (clasa a 5-a).
      Problema la matematică apare în momentul în care profesorul se mărginește a prezenta elevilor doar niște formule seci, reguli, teoreme, fără a insista pe aplicațiile lor în viața reală. Astfel, matematica rămâne pur abstractă și nu mai este înghițită de elevi.
      • Like 1
  • Parerist check icon
    Testele timss și pisa sunt invenții ale occidentului ofticat ca n-au olimpicii noștri!
    • Like 2
    • @ Parerist
      rony check icon
      Da, se oftica ca avem 1 la zece mii olimpici si majoritatea din restul cu probleme la tabla inmultirii dar campioni la frecat facebookul si cautat salam pe youtube.
      Probabil ca se oftica si ca nu au wcul in fundu curtii ca noi dar trimit rachete in spatiu in schimb.
      Acum mai ramane sa zici ca si noi puteam dar nu am fost lasati si ca sunt interese mari la mijloc.

      p.s. N-au si pentru ca majoritatea nici nu participa, ii doare in fund de olimpiada noastra de tari fost comuniste.
      • Like 1
    • @ Parerist
      M-am Pisat pe tine de râs!
      • Like 1
    • @ Parerist
      Evident, pisa e o prostie si olimpiada e temelie..
      Aplicand cateva concepte de statistica si extrapoland ca Romania a inventat olimpiadele de matematica, ne iese ca Romania cu atatia olimpici are o medie de inteligenta extraordinara si ca occidentul moare de ciuda in urma noastra, e??
      De fapt, in realitate, nivelul unei mase e data de medie. Astfel in medie cateva varfuri nu pot egala carentele educationale a aproape 40% din populatie ce nu inteleg un text si nici nu stapanesc calculele primare, iar situatia asta e in romania de la al 2lea razboi mondial.
      • Like 3
    • @ Claudia Olteanu
      Si cine ar fi vinovat de aceasta situatie? Copilul care nu are mare inclinatie spre o anumita disciplina sau profesorul care nu stie sa-l invete cum sa invete? Pentru ca aceasta este menirea primordiala a unui dascal,nu aceea de a citi/dicta texte sau de a se axa pe pregatirea celor mai buni din clasa iar ceilalti....Dumnezeu cu mila.
      • Like 0


Îți recomandăm

litoral 2021

Totul a pornit de la o simplă aluniță pe care o avea pe spate, din naștere. Mereu râdea cu părinții ei - era alunița după care o puteau recunoaște imediat, în cazul în care ar fi pierdut-o pe malul mării. (Foto: Rob Wilkinson / Alamy / Alamy / Profimedia)

Citește mai mult

articol audio
play icon mic icon Echipa de fericire

„Am tras de mine cât am putut și la 11 și 50 de minute știu că a venit pe lume Teodor. I-am auzit pentru prima dată glasul, l-am simțit pe pieptul meu, i-am văzut pielea, am știut că i s-a pus sângele în mișcare... că a venit pe lume, de fapt”- Alexandra povestește zâmbind cele mai intense 40 de minute din viața ei.

Citește mai mult

Silvia Demeter

Acel grajd avea să capete, în doi ani, o nouă funcțiune - living, dining și bucătărie în ceea ce avea să devină, prin măiestria arhitectei, reședința de vară a Prințului Charles. Totul cu un mesaj – păstrarea tradiției, salvarea patrimoniului arhitectural din zonele rurale ale României. Foto opiniatimisoarei.ro

Citește mai mult